Как автоматически прописать новорожденного, если я мама одиночка и живу не по прописке, и какие документы нужны?

Да, можете. Но не автоматически , а с походом в ФМС.

В соответствии с абзацем 3 пункта 12 и пункта 10 Правил

регистрации и снятия граждан Российской Федерации с регистрационного учета по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации

(утв. постановлением Правительства РФ от 17 июля 1995 г. N 713)

Регистрация несовершеннолетних детей по месту пребывания родителей (усыновителей, опекунов) производится независимо от согласия лиц, указанных в абзацах втором - четвертом пункта 10 настоящих Правил.

10. Регистрация граждан по месту пребывания в жилых помещениях, не являющихся местом их жительства, осуществляется на срок, определенный по взаимному соглашению:

с нанимателями и всеми совместно проживающими с ними членами их семей, в том числе с временно отсутствующими членами их семей, при условии проживания в домах государственного или муниципального жилого фонда;

с собственниками жилых помещений;

с правлениями жилищно-строительных или жилищных кооперативов, если члены кооперативов не являются собственниками данных жилых помещений.

Местом жительства детей, не достигших возраста 14 лет, или граждан, находящихся под опекой, признается место жительства их законных представителей - родителей, усыновителей или опекунов (п. 2 ст. 20 ГК РФ).

Зарегистрировать ребенка по месту жительства родителей можно независимо от согласия других лиц - наймодателя, нанимателя, собственника жилого помещения (п. п. 115, 116, 117 Административного регламента).

Для оформления регистрации новорожденного по месту жительства нужны следующие документы (п. п. 27, 114 Административного регламента):

- заявление одного из родителей (усыновителей, опекунов) о регистрации ребенка по месту жительства;

- документ, удостоверяющий личность родителей (усыновителей, опекунов);

- свидетельство о рождении ребенка.

Полный перечень необходимых документов рекомендую предварительно уточнить у должностных лиц, ответственных за регистрацию граждан по месту жительства.