Как разрешить ситуацию со страховой компанией после ДТП и ускорить процесс ремонта автомобиля?

Начните с претензии, это лучше, чем молча ждать. Да и в случае дальнейшего судебного разбирательства эта претензия позволит рассчитывать на большую сумму компенсации за просрочку.

С этого и нужно начинать - с претензии, это законом установлено

Здравствуйте. Без до судебного урегулирования спора, т.е. направления претензии в иске в суде откажут. Также мой вам совет все свои требования излагайте в письменной форме и составленной в двух экземплярах. На втором экземпляре у вас всегда должна стоять отметка о дате приема и кто ее принял. Все траты которые вы несете в настоящее время должны подтверждать чеками об оплате. Оригиналы документов в СК желательно не направлять, либо если направляете оригиналы, то всегда прописывайте это в приложении с конкретной формулировкой. Например: квитанция об оплате стоянки от ... числа, на ... сумму находящейся по адресу ... и т.п.

Также в вашем случае и возможен такой вариант, что можно узнать в СК сколько они готовы выплатить вам наличными за ремонт авто. Если эта сумма равна калькуляции которую они произвели, то для ускорения процесса ремонта получаете эту сумму на счет, далее производите ремонт. Если он окажется свыше выплаченной суммы, то Вы имеете право потребовать со СК их возмещения в полном объеме.