Бывшая супруга подала иск о лишении родительских прав. Могу подать встречный иск об установлении отцовства?

Встречный нет, отдельное исковое подавайте

Вы не можете быть лишенным родительских прав в отношении ребенка, отцовство которого не установлено.

Имеете право.

Запись родителей в книге записей рождений, произведенная в соответствии с пунктами 1 и 2 статьи 51 Семейного Кодекса РФ, может быть оспорена только в судебном порядке по требованию лица, записанного в качестве отца или матери ребенка, либо лица, фактически являющегося отцом или матерью ребенка, а также самого ребенка по достижении им совершеннолетия, опекуна (попечителя) ребенка, опекуна родителя, признанного судом недееспособным.

Требование лица, записанного отцом ребенка на основании пункта 2 статьи 51 Семейного Кодекса (абзац выше), об оспаривании отцовства не может быть удовлетворено, если в момент записи этому лицу было известно, что оно фактически не является отцом ребенка (ст. 52 СК РФ).

Встречный иск предъявляется в суд по месту рассмотрения первоначального иска (ст. 31 ГПК РФ).

Ответчик вправе до принятия судом решения предъявить к истцу встречный иск для совместного рассмотрения с первоначальным иском. Предъявление встречного иска осуществляется по общим правилам предъявления иска (ст. 137 ГПК РФ).

Судья принимает встречный иск в случае, если:

встречное требование направлено к зачету первоначального требования;

удовлетворение встречного иска исключает полностью или в части удовлетворение первоначального иска;

между встречным и первоначальным исками имеется взаимная связь и их совместное рассмотрение приведет к более быстрому и правильному рассмотрению споров (ст. 138 ГПК РФ).

Решение о принятие такого встречного иска и рассмотрении его в одном производстве в первоначальным иском будет за судом.