Как через суд установить отцовство и стать полноправным родителем ребенка, которого женщина родила от другого мужчины во время их брака, но оформила отцовство своему мужу?

Нужно подать иск в суд об оспаривании отцовства.

Статья 52. Оспаривание отцовства (материнства)

[Семейный кодекс РФ] [Глава 10] [Статья 52]

1. Запись родителей в книге записей рождений, произведенная в соответствии с пунктами 1 и 2 статьи 51 настоящего Кодекса, может быть оспорена только в судебном порядке по требованию лица, записанного в качестве отца или матери ребенка, либо лица, фактически являющегося отцом или матерью ребенка, а также самого ребенка по достижении им совершеннолетия, опекуна (попечителя) ребенка, опекуна родителя, признанного судом недееспособным.

Дополню ответ коллеги!

Вам необходимо обратиться с иском в суд по месту жительства ответчиков: мужчины, записанного отцом ребенка и Вашей БЖ (выбирайте место жительства того ответчика, которое Вам более удобно).

В Вашем случае необходимо заявить два требования.. Как уже указано в первом ответе:

оспаривания отцовства лица, записанного в актовой записи о рождении отцом ребенка.

И установление отцовства в отношении Вас.

Если ответчики с иском согласятся, затруднений не будет. Не согласятся-судом будет назначена экспертиза ДНК, расходы на ее оплату придется понести Вам... Но при удовлетворении Ваших требований судебные издержки будут взысканы в Вашу пользу с ответчиков (об этом нужно просить суд).