Или что вообще можно сделать в такой ситуации (когда руководитель отказывается уволить сотрудника)?

Анна, если человек, о котором идет речь, дейстительно имеет нарушения за которые по Трудовому кодексу установленно увольнение.

Статья 81. Расторжение трудового договора по инициативе работодателя

Трудовой договор может быть расторгнут работодателем в случаях:

3) несоответствия работника занимаемой должности или выполняемой работе вследствие:

б) недостаточной квалификации, подтвержденной результатами аттестации;

5) неоднократного неисполнения работником без уважительных причин трудовых обязанностей, если он имеет дисциплинарное взыскание;

6) однократного грубого нарушения работником трудовых обязанностей:

а) прогула (отсутствия на рабочем месте без уважительных причин более четырех часов подряд в течение рабочего дня);

б) появления на работе в состоянии алкогольного, наркотического или иного токсического опьянения;

в) разглашения охраняемой законом тайны (государственной, коммерческой, служебной и иной), ставшей известной работнику в связи с исполнением им трудовых обязанностей;

д) нарушения работником требований по охране труда, если это нарушение повлекло за собой тяжкие последствия (несчастный случай на производстве, авария, катастрофа) либо заведомо создавало реальную угрозу наступления таких последствий;

7) совершения виновных действий работником, непосредственно обслуживающим денежные или товарные ценности, если эти действия дают основание для утраты доверия к нему со стороны работодателя;

8) совершения работником, выполняющим воспитательные функции, аморального проступка, несовместимого с продолжением данной работы

11) представления работником работодателю подложных документов или заведомо ложных сведений при заключении трудового договора;

Если что то из данного списка Вам подходит, то чтобы помочь руководителю и не навредить ему, вы можете свидетельскими показаниями подтвердить данные нарушения (в случае если увольнение будет обжаловано в суде). Так же Ваши объяснительные могут пригодиться при фиксации нарушений.

Грамотный юрист сможет разработать для вашего коллектива стратегию.