Автомобиль был поврежден на стоянке государственного учреждения - рассмотрение судебного иск и наличие возмещения морального ущерба

Мой автомобиль стоял на стоянке на территории гос. учреждения. При движении задним ходом другой автомобиль ударил мою машину. Мне тут же позвонили на телефон, я вышла, посмотрела, у меня спросили сколько это будет стоить, но так как я с такой ситуацией сталкиваюсь впервые, я ответила что не знаю, тогда мне сказали, что узнавай, потом скажешь сколько это будет стоить. Я пошла дальше работать, а виновник данного ДТП уехал. На следующий день я сказала сколько мне посчитали, на что мне ответили, что это много, что они проконсультируются у других мастеров и мне перезвонят. Неделю жду, звонка нет. Звоню сама, на что мне уже отвечают, якобы он крыло не ударял, а только бампер, я предлагаю встретиться и всё внимательно рассмотреть, но опять неделю ни ответа ни привета. Опять звоню. Через 2,5 недели встреча состоялась, он согласился, что это от его машины удар (следы краски остались), но он предлагает написать заявление в страховую компанию и по обоюдному согласию оформить, чтоб мне выплатили страховку. Получается я больше двух недель я их ждала, сама вызванивала им, а теперь я должна пойти им навстречу, потратить свое личное время, чтоб оформить эту страховку, а потом еще ждать неизвестно сколько, чтоб мне выплатили деньги и всё это время ездить на удареной машине! Подскажите, пожалуйста, стоит ли мне подать на них в суд и имеет ли место возмещение морального ущерба?