Имею ли я право взять академический отпуск по семейным обстоятельствам, если я не сдал гос. экзамен в Институт МЧС?

Здравствуйте! Для предоставления такого отпуска должна быть причина, а не просто "семейные обстоятельства", Вы должны доказать нуждаемость в предоставлении отпуска

Приказ Минобрнауки России от 13.06.2013 N 455 "Об утверждении Порядка и оснований предоставления академического отпуска обучающимся" (Зарегистрировано в Минюсте России 28.06.2013 N 28912)

Приложение

ПОРЯДОК И ОСНОВАНИЯ

ПРЕДОСТАВЛЕНИЯ АКАДЕМИЧЕСКОГО ОТПУСКА ОБУЧАЮЩИМСЯ

1. Настоящие порядок и основания устанавливают общие требования к процедуре предоставления академических отпусков лицам, обучающимся по образовательным программам среднего профессионального или высшего образования (студентам (курсантам), аспирантам (адъюнктам), ординаторам и ассистентам-стажерам) (далее - обучающиеся), а также основания предоставления указанных отпусков обучающимся.

2. Академический отпуск предоставляется обучающемуся в связи с невозможностью освоения образовательной программы среднего профессионального или высшего образования (далее - образовательная программа) в организации, осуществляющей образовательную деятельность (далее - организация), по медицинским показаниям, семейным и иным обстоятельствам на период времени, не превышающий двух лет.

3. Академический отпуск предоставляется обучающемуся неограниченное количество раз.