Возможно ли работать учителем начальных классов с высшим образованием логопеда?

Нет, учителем начальных классов с образованием по специальности "логопед" работать не можете, это разные специальности. При том сама специальность "логопед" не является педагогической специальностью, если только работник не принят на должность учителя-логопеда.

Из вопроса не понятно кем Вы работаете, что Вас отправляют получать высшее образование.

Требования к квалификации "учитель": Высшее профессиональное образование или среднее профессиональное образование по направлению подготовки "Образование и педагогика" или в области, соответствующей преподаваемому предмету, без предъявления требований к стажу работы, либо высшее профессиональное образование или среднее профессиональное образование и дополнительное профессиональное образование по направлению деятельности в образовательном учреждении без предъявления требований к стажу работы.

Приказ Минздравсоцразвития РФ от 26.08.2010 N 761 н (ред. от 31.05.2011) "Об утверждении Единого квалификационного справочника должностей руководителей, специалистов и служащих, раздел "Квалификационные характеристики должностей работников образования"

Нет вы не сможете имея высшее образование логопеда работать в школе учителем начальных классов, нужно получать учителя начальных классов

Я работаю учителем начальных классов с 2011 года.