Может ли ГЖИ выдавать предписания ссылаясь на постановление № 290 от 03.04.2013 года при заключении договоров управления до его вступления в силу?

Если договор был заключён до вступления в силу указанного вами постановления, то соответствующие требования на вас не распространяется и предписание вам выдавать не могут.

"Жилищный кодекс Российской Федерации" от 29.12.2004 N 188-ФЗ (ред. от 29.07.2017) (с изм. и доп., вступ. В силу с 31.07.2017)

Статья 162. Договор управления многоквартирным домом

5. Договор управления многоквартирным домом заключается:

1) в случае, указанном в части 1 настоящей статьи, на срок не менее чем один год, но не более чем пять лет;

2) в случаях, указанных в частях 4 и 13 статьи 161 настоящего Кодекса, на срок не менее чем один год, но не более чем три года;

3) в случае, указанном в части 14 статьи 161 настоящего Кодекса, на срок не более чем три месяца.

Скорее всего договор управления у Вас или перезаключен или пролонгирован, поэтому на него распространяется ПП РФ № 290

Добрый день! По смыслу п.2 Постановления

Установить, что перечень и Правила, утвержденные настоящим постановлением, применяются к правоотношениям, вытекающим из договоров управления многоквартирным домом и договоров оказания услуг по содержанию и (или) выполнению работ по ремонту общего имущества в многоквартирном доме и возникшим после дня вступления в силу настоящего постановления.

Постановление применяется к договорам возникшим до и после вступления в силу, если только буква "И" не является опечаткой.