С какого момента в моем случае исчисляется срок лишения прав - с момента написания заявления или с момента изъятия прав сотрудниками ГАИ?

Начало течение срока лишения должны изменить, так как Вы намеренно уклонялись от сдачи прав в ГИБДД.

В случае уклонения лица, лишенного специального права, от сдачи соответствующего удостоверения (специального разрешения) или иных документов срок лишения специального права прерывается. Течение прерванного срока лишения специального права продолжается со дня сдачи лицом либо изъятия у него соответствующего удостоверения (специального разрешения) или иных документов, а равно получения органом, исполняющим этот вид административного наказания, заявления лица об утрате указанных документов.

Согласно части 2 статьи 32.7 КоАП РФ, в случае уклонения лица, лишенного специального права, от сдачи соответствующего удостоверения (специального разрешения) или иных документов срок лишения специального права прерывается. Течение срока лишения специального права начинается со дня сдачи лицом либо изъятия у него соответствующего удостоверения.

Поэтому вам нужно либо Сдавать права, либо писать новое заявление об утере и с этого момента идет срок лишения, если этого не сделать, срок лишения не будет отсчитываться.

КоАП РФ, Статья 12.7. Управление транспортным средством водителем, не имеющим права управления транспортным средством

2. Управление транспортным средством водителем, лишенным права управления транспортными средствами, -

влечет наложение административного штрафа в размере тридцати тысяч рублей, либо административный арест на срок до пятнадцати суток, либо обязательные работы на срок от ста до двухсот часов.

Дополнительно к новому наказанию, срок возврата удостоверения продлят с периода изъятия водительского удостоверения.

У Вас установлено уклонение от исполнения наказания, т.к. на самом деле не теряли, указали ложные сведения в заявлении, поэтому срок не тек, а начал течь с момента изъятия прав. Ст. 32.7 коап рф.