После разрыва отношений, он съехал к родителям и собирается продать или сдать в наем свою часть нашей квартиры.

Это возможно с вашего согласия - найм. Что касается пролддажи - он сможет с соблюдением ст.250 ГК РФ

Сдать невозможно. согласно ст.247 Гражданского кодекса РФ владение и пользование имуществом, находящимся в долевой собственности, осуществляются по соглашению всех ее участников, а при недостижении согласия - в порядке, устанавливаемом судом. Продать может.Каждый имеет право свободно распоряжаться своей собственностью. Между тем закон устанавливает определенный порядок распоряжения общей собственностью. В частности, ст. 250 Гражданского кодекса предусматривает преимущественное право покупки доли собственности вторым сособственником квартиры. Так при продаже доли в праве общей собственности постороннему лицу остальные участники долевой собственности имеют преимущественное право покупки продаваемой доли по цене, за которую она продается, и на прочих равных условиях, кроме случая продажи с публичных торгов.

Продавец доли обязан известить в письменной форме остальных участников долевой собственности о намерении продать свою долю постороннему лицу с указанием цены и других условий, на которых продает ее. Если остальные участники долевой собственности откажутся от покупки или не приобретут продаваемую долю в праве собственности на недвижимое имущество в течение месяца, продавец вправе продать свою долю любому лицу. При продаже доли с нарушением преимущественного права покупки любой другой участник долевой собственности имеет право в течение трех месяцев требовать в судебном порядке перевода на него прав и обязанностей покупателя.

С уважением,