Могут и выселить из квартиры, если долг начали оплачивать, но в течение 10 дней полностью сумму не оплатили?

нет не могут, нет на то законных оснований.

Здравствуйте, Елена !

Естественно, за квартиру и коммунальные услуги в ней обязан был платить Ваш муж за себя и за ребенка согласно части 11 статьи 155 Жилищного кодекса РФ, далее по тексту ЖК, хотя он и ребенок фактически на проживали в той квартире, где они были зарегистрированны по месту жительства (в России уже более 15 лет не существует в жилищных правоотношениях "прописки".

Что касается Решения суда, то Истец имел право указать адрес Ответчиков (бабушки, Вашего мужа и ребенка) их РЕГИСТРАЦИИ. Поэтому судебная(ые) повестка(и) могли приходить на почтовый адрес этой квартиры, где имелась задолженность по квартплате и за коммунальные услуги. Конечно с помощью юриста или адвоката можно было бы обжаловать это Решение суда при наличии оснований, но долг от этого не уменьшится, а наоборот станет еще больше с пени.

Выселить из этой квартиры всех могут только на основании статьи 90 ЖК при наличии оснований (см. ниже выписку из этой статьи):

Статья 91 ЖК. Выселение нанимателя и (или) проживающих совместно с ним членов его семьи из жилого помещения без предоставления другого жилого помещения

1. Если наниматель и (или) проживающие совместно с ним члены его семьи используют жилое помещение не по назначению, систематически нарушают права и законные интересы соседей или бесхозяйственно обращаются с жилым помещением, допуская его разрушение, наймодатель обязан предупредить нанимателя и членов его семьи о необходимости устранить нарушения. Если указанные нарушения влекут за собой разрушение жилого помещения, наймодатель также вправе назначить нанимателю и членам его семьи разумный срок для устранения этих нарушений. Если наниматель жилого помещения и (или) проживающие совместно с ним члены его семьи после предупреждения наймодателя не устранят эти нарушения, виновные граждане по требованию наймодателя или других заинтересованных лиц выселяются в судебном порядке без предоставления другого жилого помещения.

2. Без предоставления другого жилого помещения могут быть выселены из жилого помещения граждане, лишенные родительских прав, если совместное проживание этих граждан с детьми, в отношении которых они лишены родительских прав, признано судом невозможным.

Что бы этого не случилось, необходимо хотя бы частично платить квартплату и за коммунальные услуги в ней ежемесячно.

И ещё. При наличии задолженности по квартплате и за коммунальные услуги эту квартиру нельзя будкет и приватизировать.

Удачи Вам всем.