Законно ли платят мне 10% вместо 50% в казенном учреждении на крайнем севере?

Правильно Вам платят.

2.Инструкция о порядке предоставления социальных *** и компенсаций лицам, работающим в районах Крайнего Севера и в местностях, приравненных к районам Крайнего Севера, утвержденной Приказом Минтруда РСФСР от 22.11.90 N 2

Инструкция, п 16 гласит: Процентные надбавки начисляются на заработок (без учета районного коэффициента и вознаграждения за выслугу лет) в следующих размерах:

...

в) в местностях, приравненных к районам Крайнего Севера, - 10% заработка по истечении первого года работы, с увеличением на 10% заработка за каждый последующий год работы до достижения 50% заработка...;

г) молодежи (лицам в возрасте до 30 лет), прожившей не менее года в районах Крайнего Севера и вступающей в трудовые отношения, надбавки начисляются с 1 января 1991 года в размере 20% по истечении первых шести месяцев работы с увеличением на 20% за каждые последующие шесть месяцев и по достижении 60% надбавки - последние по 20% за год работы, а в местностях, приравненных к районам Крайнего Севера, в размере 10% за каждые шесть месяцев работы.

Так что Вы подпадаете под действие п.п."г", и начисление северных до полного размера должно происходить каждые 6 месяцев.

Вероятно, Вас ввела в заблуждение старая редакция ФЗ N 4520-1, согласно которой т.н. местной молодежи северная надбавка выплачивалась сразу в полном объеме. Но с 1 января 2005 г. Федеральным законом от 22.08.2004 N 122-ФЗ внесены изменения, исключившие указанные положения.