Приветствую! Могу ли я прописать гражданина Узбекистана в свой частный дом?

Можете.

НО имейте в виду следующее:

Фиктивная регистрация гражданина Российской Федерации по месту пребывания или по месту жительства – регистрация гражданина Российской Федерации по месту пребывания или по месту жительства на основании представления заведомо недостоверных сведений или документов для такой регистрации, либо его регистрация в жилом помещении без намерения пребывать (проживать) в этом помещении, либо регистрация гражданина Российской Федерации по месту пребывания или по месту жительства без намерения нанимателя (собственника) жилого помещения предоставить это жилое помещение для пребывания (проживания) указанного лица.

УК РФ Статья 322.2.

Фиктивная регистрация гражданина Российской Федерации по месту пребывания или по месту жительства в жилом помещении в Российской Федерации, а равно фиктивная регистрация иностранного гражданина или лица без гражданства по месту жительства в жилом помещении в Российской Федерации -

наказываются штрафом в размере от ста тысяч до пятисот тысяч рублей или в размере заработной платы или иного дохода осужденного за период до трех лет, либо принудительными работами на срок до трех лет с лишением права занимать определенные должности или заниматься определенной деятельностью на срок до трех лет или без такового, либо лишением свободы на срок до трех лет с лишением права занимать определенные должности или заниматься определенной деятельностью на срок до трех лет или без такового.

Примечание. Лицо, совершившее преступление, предусмотренное настоящей статьей, освобождается от уголовной ответственности, если оно способствовало раскрытию этого преступления и если в его действиях не содержится иного состава преступления.

Нельзя. Прописка в России отменена в 93 году прошлого века.

А вот зарегистрировать его по месту пребывания Вы можете, если хотите.

Правда, нужно помнить, что он должен реально жить в Вашем доме. В противном случае, Вам грозит уголовная ответственность за фиктивную регистрацию иностранного гражданина.