Должны ли в такой ситуации продлевать его, и что мне делать - ждать, когда придет письмо, или заниматься восстановлением срока

Уважаемая Инга !

Во-первых, не мировой суд, а мировой судья, действующий на основании Федерального закона № 188-ФЗ от 17.12.1998 г. "О мировых судьях в Российской Федерации".

Во-вторых, если Вы на основании статей 320, 321 Гражданского процессуального кодекса РФ, далее по тексту ГПК, своевременно (в течение 10 дней со дня принятия мировым судьей решения в окнчательной форме) выслали по почте в адрес мирового судьи надлежащим образом оформленную апелляционную жалобу на решение этого мирового судьи в районный суд, то Вам нет необходимости ходатайствовать о востановлении пропущенного срока для подачи апелляционной жалобы.

Вам следует ознакомиться со статьями 108, 109 ГПК (см. ниже выписку из этих статей):

Статья 108 ГПК. Окончание процессуального срока

1. Процессуальный срок, исчисляемый годами, истекает в соответствующие месяц и число последнего года срока. Срок, исчисляемый месяцами, истекает в соответствующее число последнего месяца срока. В случае, если окончание срока, исчисляемого месяцами, приходится на такой месяц, который соответствующего числа не имеет, срок истекает в последний день этого месяца.

2. В случае, если последний день процессуального срока приходится на нерабочий день, днем окончания срока считается следующий за ним рабочий день.

3. Процессуальное действие, для совершения которого установлен процессуальный срок, может быть совершено до двадцати четырех часов последнего дня срока. В случае, если жалоба, документы или денежные суммы были сданы в организацию почтовой связи до двадцати четырех часов последнего дня срока, срок не считается пропущенным.

4. В случае, если процессуальное действие должно быть совершено непосредственно в суде или другой организации, срок истекает в тот час, когда в этом суде или этой организации по установленным правилам заканчивается рабочий день или прекращаются соответствующие операции.

Статья 109 ГПК. Последствия пропуска процессуальных сроков

1. Право на совершение процессуальных действий погашается с истечением установленного федеральным законом или назначенного судом процессуального срока.

2. Поданные по истечении процессуальных сроков жалобы и документы, если не заявлено ходатайство о восстановлении пропущенных процессуальных сроков, не рассматриваются судом и возвращаются лицу, которым они были поданы.

Удачи Вам.