Как разделить долг за не приватизированную квартиру после смерти отца и обеспечить правильное оформление платежей?

Да, никак не оформить. Потому, что в соответствии с требованиями ч. 2. ст. 69 ЖК РФ

2. Члены семьи нанимателя жилого помещения по договору социального найма имеют равные с нанимателем права и обязанности. Дееспособные и ограниченные судом в дееспособности члены семьи нанимателя жилого помещения по договору социального найма несут солидарную с нанимателем ответственность по обязательствам, вытекающим из договора социального найма.

Поэтому ВСЯ задолженность "повиснет" на остальных оставшихся совершеннолетних и дееспособных гражданах, зарегистрированных в данной государственной квартире.

Долг по кварплате будет числиться на квартире, независимо на чье имя квитанция, т.к. члены семьи нанимателя жилого помещения по договору социального найма имеют равные с нанимателем права и обязанности (ст. 69 ЖК РФ). Т.е. вы обязаны были оплачивать все платежи совместно.

Для разделения лицевых счетов на каждого человека нужно обратиться в управляющую компанию с соответствующим заявлением. Но скорее они откажут, пока не погасите долг. Сами они его списывать не будут, но могут обратиться в суд с иском о взыскании. Только тогда вы сможете заявить ходатайство о применении трехлетнего срока исковой давности.

Есть еще один неприятный для вас пункт: "Если наниматель и проживающие совместно с ним члены его семьи в течение более шести месяцев без уважительных причин не вносят плату за жилое помещение и коммунальные услуги, они могут быть выселены в судебном порядке с предоставлением другого жилого помещения по договору социального найма, размер которого соответствует размеру жилого помещения, установленному для вселения граждан в общежитие." (статья 90 ЖК РФ).