Как официально уволить сотрудника, который не хочет уходить и работа не устраивает, в условиях его 3-недельного отпуска без подписи

Если отпуск ему никто не подписывал - тогда это получается гарантированный прогул, увольнение по пункту 6 статьи 81 ТК РФ. Дело за небольшим - оформить увольнение в соответствии с порядком, предусмотренным статьей 193 ТК РФ, конкретно:

- потребовать с работника объяснительную на предмет его отсутствия без уважительных причин;

- при непредоставлении объяснительной в течение 3 рабочих дней - составлять соответствующий акт;

- составлять приказ об увольнении работника, знакомить его под роспись, при отказе от росписи - составлять соответствующий акт;

- выдать работнику его трудовую книжку с соответствующей записью об увольнении, документы, связанные с его работой, а также произвести с ним окончательный расчет.

Анастасия, если при этом не было графика отпусков и отпуск по графику не попадает на эти три недели, то есть основания для увольнения, надо составлять акты о прогуле, предложить письменно дать ему объяснения, если не будет представлено объяснение или работник даст объяснения, не свидетельствующие об уважительной причине отсутствия - можно увольнять.

Вместе с тем надо соблюсти и все иные требования ТК РФ, как касающиеся применения дисциплинарных взысканий, так и увольнений в целом, рассчитаться вовремя, выдать трудовую и т.д.