Может ли частная организация потребовать от меня отработать 2 недели при увольнении после 3,5 месяцев работы?

В соответствии со ст. 80 ТК РФ Работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме не позднее чем за две недели, если иной срок не установлен настоящим Кодексом или иным федеральным законом. Течение указанного срока начинается на следующий день после получения работодателем заявления работника об увольнении.

Таким образом работодатель не заставляет Вас отрабатывать 2 недели, а Вы предупреждаете работодателя, что хотите через 2 недели прекратить ваши трудовые отношения.

Расторгнуть трудовой договор по соглашению сторон возможно лишь при условии соглашения между работодателем и работником. (та же ст. 80 ТК РФ)

Не отрабатывать. По смыслу статьи 80 ТК РФ, пресловутый 2-недельный срок нужен не работнику, а работодателю, дабы подыскать нового работника взамен уходящего. Поэтому статья 80 ТК РФ и допускает возможность увольнения по собственному желанию и ранее 2-недельного срока, но только по соглашению между работником и работодателем. Нет согласия работодателя - нет и увольнения ранее 2 недель с момента приема заявления работника об увольнении. Но указанные 2 недели Вы не обязаны находиться на работе - можете взять отпуск, можете пребывать на больничном и т.д. Главное - не допускать прогулов и иных нарушений трудовой дисциплины, дающих работодателю право уволить Вас по статье 81 ТК РФ. Потому как наличие Вашего заявления по собственному желанию не препятствует работодателю уволить Вас по дисциплинарному основанию. Такие дела.