Могут ли отказать в регистрации брака, если желаемая дата не выпадает на субботу?

Однозначно нет. Я так понимаю обращаетесь вы в рядовой орган ЗАГС, не в дворец бракосочетаний, верно?

Разъясню Вам почему сотрудники рядового органа ЗАГС стремятся регистрировать браки только в субботу (в пятницу в крайнем случае). Это явление распространено в основном летом, когда пик свадеб. Как правило в органе ЗАГС сотрудники, ведущие регистрацию брака исполняют еще 1-2 вида (рождение, смерть, развод и т.д.) и в будние дни по их основным вопросам приходит большое количество граждан. Особенно остро этот вопрос встает когда сотрудник работает в архиве или является руководителем организации. Если брак назначается на будний день (людям идут навстречу) то сотрудник ведет регистрацию в свой обеденный перерыв. Тем самым ущемляются его права на отдых и питание. Максимум 1 регистрацию в будний день может назначить рядовой орган ЗАГС (это 20 минут времени), иначе сотрудник останется без обеда, либо люди будут очень долго ждать в очереди (если это не обед), а согласно регламента в очереди гражданин не может провести более 15 минут. Вот и вынуждены органы ЗАГС назначать браки на субботу и пятницу (в летнее время преимущественно на субботу).

Мой вам совет - обратитесь в Дворец бракосочетания. Сотрудники дворца кроме регистрации брака другие виды не ведут.