Могу ли я передать свой долг другому лицу через договор цессии и какие дополнительные действия необходимы?

В мае в одном из районных судов Москвы мною было выиграно дело. Его суть заключалась в том, что между мною (физ. лицом) и моим должником (физ. лицо) примерно полтора года назад до сего дня была письменно оформлена долговая расписка: должник свои обязательства по возврату долга не выполнил. Далее в суде выписали исполнительный лист, который я отвезла судебным приставам (он сейчас находится у них). Открыто исполнительное производство по делу должника. Копия решения суда (заверенная судьёй) у меня на руках. Должник вроде уже вышел на контакт с приставом и начал первые перечисления на счёт ФССП.

Сейчас суть вопроса в следующем: если я - как собственник/взиматель долга - хочу продать этот долг за некую сумму денег (меньшую, чем по решению суда и исполнительному листу) другому физлицу, при этом юридически эта сделка будет оформлена договором цессии, то этот договор цессии (заключённый в простой письменной форме) может сразу быть передан мною ответственному судебному приставу-исполнителю (и на основании его изменится взиматель долга)? Или нужны ещё какие-либо дополнительные действия с моей стороны (как мне сообщил один специалист, этот договор должен быть предъявлен в тот же районный суд, и лишь после одобрения судом новый исполнительный лист (с новым взимателем долга) снова передаётся приставам, - это так?