Может ли гражданская жена без моего согласия увезти ребенка в другой регион к крестным родственникам?

Да, может, так как законодательство не устанавливает даже письменного разрешения в случае вызда ЗА границу, то есть не нужно спрашивать вашего разрешения, его нужно спрашивать если вы сами заявите письменное несогласие про путешествие в пределах России даже ваше несогласие не имеет юр силы.

Согласно Семейного Кодекса РФ родители имеют равные права и обязанности в воспитании и содержании детей.

Факт отцовства (материнства) подтверждается записью в Журнале актов гражданского состояния в органах ЗАГС. Исходя из этого возможны два варианта.

1. В свидетельстве о рождении ребенка вы указаны как отец (на основании вашего заявления о признании отцовства в органах ЗАГС) если да, то ваша сожительница имеет право с вашим общим ребенком поехать не спрашивая вашего согласия в отпуск (гости), но при смене места жительства и регистрации ребенка потребуется ваше согласие. Тем более для того чтобы оставить ребенка проживать у людей не являющихся родителями ребенка, не зависимо от степени родства необходимо согласие обоих родителей.

2. В свидетельстве о рождении ребенка стоит прочерк либо отец записан со слов матери - увы прав на ребенка у вас нет.

также напоминаю, что если вы не участвуете в жизни своего ребенка вас могут ограничить в родительских правах либо лишить их.