Квалифицированная или не квалифицированная работа - что предлагает центр занятости населения с высшим образованием и опытом в административно-управленческом персонале?

Конечно, имеют, никто не обязан Вам искать работу по специальности. В Германии, например, если женщина дважды отказывается устраиваться на работу проституткой, её снимают с пособия. Это не анекдот, это на полном серьёзе, мне рассказали немецкие коллеги. Так что Ваш случай ещё не самый худший...

Да могут дать направление хоть на дворника;

постановление Правительства Российской Федерации от 7 сентября 2012 г. N 891 ТРЕБОВАНИЯ К ПОДБОРУ ПОДХОДЯЩЕЙ РАБОТЫ

Подробнее на Правовед.ru: pravoved.ru

9. Оплачиваемая работа, включая работу временного характера и общественные работы, требующая или не требующая (с учетом возрастных и иных особенностей граждан) предварительной подготовки, отвечающая требованиям трудового законодательства Российской Федерации и иных нормативных правовых актов, содержащих нормы трудового права, считается подходящей для зарегистрированных граждан и безработных граждан:

а) уволенных более одного раза в течение года, предшествовавшего началу безработицы, за нарушение трудовой дисциплины или другие виновные действия, предусмотренные законодательством Российской Федерации;

б) прекративших индивидуальную предпринимательскую и иную деятельность, вышедших из членов крестьянского (фермерского) хозяйства в установленном законодательством Российской Федерации порядке;

в) стремящихся возобновить трудовую деятельность после длительного (более 1 года) перерыва;

г) направленных государственными учреждениями службы занятости населения на обучение и отчисленных за виновные действия;

Постановлением Правительства РФ от 6 марта 2015 г. N 201 в подпункт "д" внесены изменения

См. текст подпункта в предыдущей редакции

д) отказавшихся повысить (восстановить) квалификацию по имеющейся профессии (специальности), получить смежную профессию или пройти профессиональное обучение или получить дополнительное профессиональное образование после окончания первого периода выплаты пособия по безработице;

е) состоящих на учете в государственных учреждениях службы занятости населения более 18 месяцев;

ж) более 3 лет не работавших;

з) обратившихся в государственные учреждения службы занятости населения после окончания сезонных работ.