Решение суда о выплате алиментов вступило в силу, но истец предоставил ложные сведения. Как снизить долг и размер алиментов в данной ситуации?

Про ложные сведения Вам никто не поверит, если решение вступило в силу. Подавайте заявление в суд о снижении алиментов; если у Вас нет тяжелого заболевания, на иждивении тяжело больных родственником, то шансов нет;

"Семейный кодекс Российской Федерации" от 29.12.1995 N 223-ФЗ (ред. от 29.07.2018)

""СК РФ Статья 119. Изменение установленного судом размера алиментов и освобождение от уплаты алиментов

""1. Если при отсутствии соглашения об уплате алиментов после установления в судебном порядке размера алиментов изменилось материальное или семейное положение одной из сторон, суд вправе по требованию любой из сторон изменить установленный размер алиментов или освободить лицо, обязанное уплачивать алименты, от их уплаты. При изменении размера алиментов или при освобождении от их уплаты суд вправе учесть также иной заслуживающий внимания интерес сторон.

""2. Суд вправе отказать во взыскании алиментов совершеннолетнему дееспособному лицу, если установлено, что оно совершило в отношении лица, обязанного уплачивать алименты, умышленное преступление или в случае недостойного поведения совершеннолетнего дееспособного лица в семье.

Вам нужно определить место жительства ребенка с отцом. А потом подать иск.

В соответствии со статьей 83 СК РФ, если при каждом из родителей остаются дети, размер алиментов с одного из родителей в пользу другого менее обеспеченного, определяется в твердой денежной сумме, взыскиваемой ежемесячно и определяемой судом в соответствии с пунктом 2 статьи 83 СК РФ.