Как требовать алименты на ребенка в размере прожиточного минимума и взыскать задолженность за прошлые годы?

Можете потребовать. Однако придеться учитывать ряд факторов. Так же зависит от конкретной ситуации, его работы, материальной обеспеченности, личности и т.п.

СК РФ Статья 83. Взыскание алиментов на несовершеннолетних детей в твердой денежной сумме

1. При отсутствии соглашения родителей об уплате алиментов на несовершеннолетних детей и в случаях, если родитель, обязанный уплачивать алименты, имеет нерегулярный, меняющийся заработок и (или) иной доход, либо если этот родитель получает заработок и (или) иной доход полностью или частично в натуре или в иностранной валюте, либо если у него отсутствует заработок и (или) иной доход, а также в других случаях, если взыскание алиментов в долевом отношении к заработку и (или) иному доходу родителя невозможно, затруднительно или существенно нарушает интересы одной из сторон, суд вправе определить размер алиментов, взыскиваемых ежемесячно, в твердой денежной сумме или одновременно в долях (в соответствии со статьей 81 настоящего Кодекса) и в твердой денежной сумме.

2. Размер твердой денежной суммы определяется судом исходя из максимально возможного сохранения ребенку прежнего уровня его обеспечения с учетом материального и семейного положения сторон и других заслуживающих внимания обстоятельств.

3. Если при каждом из родителей остаются дети, размер алиментов с одного из родителей в пользу другого, менее обеспеченного, определяется в твердой денежной сумме, взыскиваемой ежемесячно и определяемой судом в соответствии с пунктом 2 настоящей статьи.

Требовать у суда вы не можете. Просить только. Не вздумайте такое в исковом заявлении написать.

Если алименты взысканы в долевом отношении, то вам подавать исковое заявление мировому судье по ст.119 СК РФ, и просить установить алименты в ТДС или ТДС + доля (ст.83 СК РФ), чтобы дотянуться до прожиточного минимума. Однако у суда право, но не обязанность изменять размер алиментов.