Как могу выйти на пенсию по смешанному стажу, находясь на должности младшего инспектора в ФСИН, после окончания переходного периода?

Обжалуйте для начала действия руководства вышестоящему руководству либо в прокуратуру.

По смешанному - в любом случае, в рамках Вами описанного - не можете. Нет в нем указаний на требуемое законом основание увольнения, для того, чтобы право на смешанную пенсию возникло.

Закон РФ от 12 февраля 1993 г. N 4468-I "О пенсионном обеспечении лиц, проходивших военную службу, службу в органах внутренних дел, Государственной противопожарной службе, органах по контролю за оборотом наркотических средств и психотропных веществ, учреждениях и органах уголовно-исполнительной системы, войсках национальной гвардии Российской Федерации, и их семей" (с изменениями и дополнениями

Статья 13. Условия, определяющие право на пенсию за выслугу лет

Право на пенсию за выслугу лет имеют:

б) лица, указанные в статье 1 настоящего Закона, уволенные со службы по достижении предельного возраста пребывания на службе, состоянию здоровья или в связи с организационно-штатными мероприятиями и достигшие на день увольнения 45-летнего возраста, имеющие общий трудовой стаж 25 календарных лет и более, из которых не менее 12 лет шести месяцев составляет военная служба и (или) служба в органах внутренних дел, и (или) служба в Государственной противопожарной службе, и (или) служба в органах по контролю за оборотом наркотических средств и психотропных веществ, и (или) служба в учреждениях и органах уголовно-исполнительной системы, и (или) служба в войсках национальной гвардии Российской Федерации.

Ч. 5 ст. 96 ФЗ-197 от 19.07.2018 гласит: " Сотрудники, достигшие до 1 августа 2018 года предельного возраста пребывания на службе в уголовно-исполнительной системе, установленного в соответствии с законодательством Российской Федерации, действовавшим до дня вступления в силу настоящего Федерального закона, вправе до 1 ноября 2018 года уволиться со службы по основанию, предусмотренному пунктом 2 части 1 статьи 84 настоящего Федерального закона."

п.2 чт.1 ст. 84 гласит "по достижении сотрудником предельного возраста пребывания на службе в уголовно-исполнительной системе, установленного статьей 91 настоящего Федерального закона."

кроме этого указанной статьей п. 4 установлено, что Сотрудники, проходившие службу на должностях в уголовно-исполнительной системе до 1 августа 2018 года на основании контракта, заключенного на неопределенный срок, проходят с их согласия службу на замещаемых должностях с оформлением контракта на неопределенный срок в соответствии со статьями 21 - 23 настоящего Федерального закона. Сотрудники, проходившие службу в уголовно-исполнительной системе до 1 августа 2018 года на основании контракта, заключенного на определенный срок, проходят с их согласия службу до окончания его действия с оформлением срочного контракта в соответствии со статьями 21 - 23 настоящего Федерального закона. Сотрудники, отказавшиеся оформлять контракт в соответствии с настоящей статьей, увольняются со службы в уголовно-исполнительной системе по основанию, предусмотренному пунктом 3 части 2 статьи 84 настоящего Федерального закона, или по иному основанию в соответствии с частью 7 статьи 84 настоящего Федерального закона.

Так что у вас есть другие варианты увольнения и отказ ваших кадров не законен. Срок до 01.11.2018 г. распространяется только на одно из оснований увольнения.