Можно ли забрать машину со штрафстоянки, если есть неоплаченные штрафы?

Не отдадут вам машину.

КоАП РФ Перемещение транспортных средств на специализированную стоянку

их хранение и возврат владельцам, представителям владельцев или лицам, имеющим при себе документы, необходимые для управления данными транспортными средствами, оплата лицами, привлеченными к административной ответственности за административные правонарушения, повлекшие применение задержания транспортных средств, стоимости перемещения и хранения задержанных транспортных средств осуществляются в порядке, устанавливаемом законами субъектов Российской Федерации. Возврат задержанных транспортных средств их владельцам, представителям владельцев или лицам, имеющим при себе документы, необходимые для управления данными транспортными средствами, осуществляется незамедлительно после устранения причины их задержания.

МОжно.

Ведь условием отдачи автомобиля является разрешение сотрудника ГИБДД, а не оплата штрафа.

Статья 7. Возврат перемещенных транспортных средств

1. Основаниями для возврата перемещенного транспортного средства являются разрешение на выдачу транспортного средства в виде сделанной должностным лицом, уполномоченным осуществлять задержание транспортного средства в соответствии со статьей 27.13 Кодекса Российской Федерации об административных правонарушениях, соответствующей отметки в копии протокола о задержании транспортного средства или протокола об административном правонарушении либо определение о прекращении производства по делу в соответствии с частью 12 статьи 27.13 Кодекса Российской Федерации об административных правонарушениях.

2. Лицо, ответственное за хранение транспортного средства на специализированной стоянке, получив документы, указанные в части 1 настоящей статьи, возвращает транспортное средство владельцу, представителю владельца или лицу, имеющему при себе документы, необходимые для управления данным транспортным средством.