Мне и моему ребёнку нужна постоянная прописка у постороннего человека, сроком на 2 года, можно это заверить у нотариуса?

Регистрация (прописка) физического лица в жилом помещении не заверяется у нотариуса. См. ниже! Не предусмотрено такое нотариальное действие.

"Основы законодательства Российской Федерации о нотариате" (утв. ВС РФ 11.02.1993 N 4462-1).

Статья 35. Нотариальные действия, совершаемые нотариусами.

Нотариусы совершают следующие нотариальные действия:

1) удостоверяют сделки;

2) выдают свидетельства о праве собственности на долю в общем имуществе супругов;

3) налагают и снимают запрещения отчуждения имущества;

4) свидетельствуют верность копий документов и выписок из них;

""5) свидетельствуют подлинность подписи на документах;

""6) свидетельствуют верность перевода документов с одного языка на другой;

7) удостоверяют факт нахождения гражданина в живых;

8) удостоверяют факт нахождения гражданина в определенном месте;

9) удостоверяют тождественность гражданина с лицом, изображенным на фотографии;

10) удостоверяют время предъявления документов;

11) передают заявления и (или) иные документы физических и юридических лиц другим физическим и юридическим лицам;

12) принимают в "депозит" денежные суммы и ценные бумаги;

""13) совершают исполнительные надписи;

14) совершают протесты векселей;

15) предъявляют чеки к платежу и удостоверяют неоплату чеков;

16) принимают на хранение документы;

17) совершают морские протесты;

18) обеспечивают доказательства;

""19) удостоверяют сведения о лицах в случаях, предусмотренных "законодательством" Российской Федерации;

(п. 19 введен Федеральным законом от 03.12.2011 N 386-ФЗ)

20)

регистрируют уведомления о залоге движимого имущества;

21) выдают выписки из реестра уведомлений о залоге движимого имущества;

(п. 21 введен Федеральным законом от 21.12.2013 N 379-ФЗ)

""22) выдают дубликаты нотариальных свидетельств, исполнительных надписей и дубликаты документов, выражающих содержание нотариально удостоверенных сделок;

(п. 22 введен Федеральным законом от 21.12.2013 N 379-ФЗ, в ред. Федерального закона от 29.12.2014 N 457-ФЗ)

23) удостоверяют равнозначность электронного документа документу на бумажном носителе;

(п. 23 введен Федеральным законом от 21.12.2013 N 379-ФЗ)

24) удостоверяют равнозначность документа на бумажном носителе электронному документу;

(п. 24 введен Федеральным законом от 21.12.2013 N 379-ФЗ)

""25) утратил силу. - Федеральный закон от 03.08.2018 N 338-ФЗ;

26) удостоверяют тождественность собственноручной подписи инвалида по зрению с факсимильным воспроизведением его собственноручной подписи;

(п. 26 введен Федеральным законом от 21.07.2014 N 267-ФЗ)

27) выдают свидетельства о праве на наследство;

(п. 27 введен Федеральным законом от 29.12.2014 N 457-ФЗ)

28) принимают меры по охране наследственного имущества;

(п. 28 введен Федеральным законом от 29.12.2014 N 457-ФЗ)

29) удостоверяют решения органов управления юридических лиц;

(п. 29 введен Федеральным законом от 29.12.2014 N 457-ФЗ)

30) представляют документы на государственную регистрацию юридических лиц и индивидуальных предпринимателей;

(п. 30 введен Федеральным "законом" от 30.03.2015 N 67-ФЗ)

31) вносят сведения в реестр списков участников обществ с ограниченной ответственностью единой информационной системы нотариата;

(п. 31 введен Федеральным законом от 03.07.2016 N 360-ФЗ)

32) выдают выписки из реестра списков участников обществ с ограниченной ответственностью единой информационной системы нотариата;

(п. 32 введен Федеральным законом от 03.07.2016 N 360-ФЗ)

""33) удостоверяют факт возникновения права собственности на объекты недвижимого имущества в силу приобретательной давности.

(п. 33 введен Федеральным законом от 29.06.2018 N 171-ФЗ)

Постоянная прописка не удостоверяется нотариусом. Временно зарегистрировать Вас может хозяин жилья. А у нотариуса можете оформить сделку - договор найма жилого помещения с указанием сроков и суммы и т.д.