Квартира с многотысячными долгами - возможно ли подключение света и газа при такой ситуации?

Непонятно какое отношение вы имеете к квартире. Вы в квартире не прописаны, собственником не являетесь. Если ваш ребенок прописан в квартире вы должны были как опекун платить также коммунальные платежи за ребенка. Семейные проблемы не могут быть основанием для подключения коммунальных услуг, увы. Вы конечно можете обратиться в орган опеки, чтобы последние письменно ходатайствовали о подключении, но боюсь это не поможет.

Пока не погасятся долги или вы не заключите мировое соглашение в суде с взыскателем о порядке погашения задолженности вам ничего не подключат.

Взыскивайте алименты с мужа на ребёнка, на своё содержание тоже.

Если муж работает официально, то на ребёнка в долях алименты 1/4, ст. 81 СК РФ, а если нет, то в твёрдой денежной сумме (ТДС) кратно прожиточному минимуму на детей в регионе их проживания с ежеквартальной индексацией, ст. ст. 83, 117 СК РФ (10677,00 руб.).

На вас тоже в ТДС кратно прожиточному минимуму для трудоспособного населения в регионе вашего проживания с ежеквартальной индексацией, ст. ст. 89, 91 СК РФ (10949,00 руб.).

Будете с алиментов гасить долг помогать родителям.

Документы по взысканию долга посмотрите и возможно за газ быстрее выплатить получится. Какие суммы уже выплачены у родителей узнавайте.