Как гражданину Кыргызской республики находящемуся на территории РФ без срока окончания национальных прав, сдавать экзамены на получение прав РФ или можно ли мне ездить на личном автотранспорте?

Можете ездить по своим, если российских нет.

Федеральный закон от 10.12.1995 N 196-ФЗ (ред. от 27.12.2018) "О безопасности дорожного движения" (с изм. и доп., вступ. В силу с 30.12.2018)

Статья 25. Основные положения, касающиеся допуска к управлению транспортными средствами

12. Лица, постоянно или временно проживающие либо временно пребывающие на территории Российской Федерации, допускаются к управлению транспортными средствами на основании российских национальных водительских удостоверений, а при отсутствии таковых - на основании иностранных национальных или международных водительских удостоверений при соблюдении ограничений, указанных в пункте 13 настоящей статьи.

13. Не допускается управление транспортными средствами на основании иностранных национальных или международных водительских удостоверений при осуществлении предпринимательской и трудовой деятельности, непосредственно связанной с управлением транспортными средствами.

Положение настоящего пункта не распространяется на граждан Киргизской Республики, а также граждан государств, законодательство которых закрепляет использование русского языка в качестве официального, осуществляющих предпринимательскую и трудовую деятельность на территории Российской Федерации, непосредственно связанную с управлением транспортными средствами.