Могут ли по скану заявления об увольнении уволить с работы?

Нет не могут. Работодатель должен быть в письменной форме предупрежден о желании работника уволиться, о чем нам говорит ст. 80 Трудового кодекса РФ. При этом особенности дистанционного труда закреплены в гл. 49.1 ТК РФ. Так, из совокупности норм указанной главы можно сделать вывод, что при обмене с работодателем электронными документами, подтверждающими прием такого дистанционного работника на работу, иные действия, связанные с его трудовыми отношениями с работодателем, обязательно наличие квалифицированной электронной подписи. Так, в Апелляционном определении Омского областного суда от 22.01.2014 N 33-187/2014 суд отметил, что, несмотря на то что истец являлся дистанционным работником, его заявление об увольнении по собственному желанию могло рассматриваться как имеющий юридическую силу документ только при наличии в нем собственноручной подписи работника, а потому отсканированная копия заявления об увольнении в отсутствие его оригинала надлежащим доказательством волеизъявления работника о прекращении трудовых отношений служить не может. Следовательно, скан-заявление, пусть и с наличием подписи работника, не является юридически значимым документом без представления самого оригинала.

НЕт. Это все равно что оставлять ксерокопию.

Нужна личная подпись.

Если бы СКАН или эл. письмо подписано электронной цифровой подписью - то ДА вопросов НЕТ.

Но вряд ли ЭЦП у Вас есть.