Вопрос - Могу ли я носить старую спецодежду после выдачи новой, если срок носки уже истёк?

Само по себе - законодательство этого не запрещает. Просто работодатель - может требовать ношения именно новой спецодежды.

Полагаю вам надо сдать старую спецодежду срок носки, которой истек

22. СИЗ, возвращенные работниками по истечении сроков носки, но пригодные для дальнейшей эксплуатации, используются по назначению после проведения мероприятий по уходу за ними (стирка, чистка, дезинфекция, дегазация, дезактивация, обеспыливание, обезвреживание и ремонт). Пригодность указанных СИЗ к дальнейшему использованию, необходимость проведения и состав мероприятий по уходу за ними, а также процент износа СИЗ устанавливаются уполномоченным работодателем должностным лицом или комиссией по охране труда организации (при наличии) и фиксируются в личной карточке учета выдачи СИЗ

Приказ Минздравсоцразвития России от 01.06.2009 N 290 н Об утверждении Межотраслевых правил обеспечения работников специальной одеждой, специальной обувью и другими средствами индивидуальной защиты (Зарегистрировано в Минюсте России 10.09.2009 N 14742) (в редакции от 12.01.2015)

Если Вы носили старую спецодежду аккуратно и процент износа небольшой-то почему бы и нет. Если работодатель предъявляет к Вам по этому поводу претензию, то пусть доведет под личную Вашу подпись ту норму права, регламентирующую то,что необходимо Ваши трудовые функции осуществлять в новой спецодежде.