Возможно ли уволиться за отсутствие письменного заявления на отгул, если я была на больничном?

Здравствуйте, Елена!

Во-первых, если Вы временно были нетрудоспособными, и у Вас был листок нетрудоспособности, то закрывать его врач не мог, ели Вы не выздоровели, исходя из положений Порядка выдачи листков нетрудоспособности, утвержденного Приказом МинЗдравСоцразвития России от 29.6.2011 № 624 н (такого понятия, как "больничный" нет в Российском законодательстве).

Во-вторых, Трудовым кодексом Российской Федерации (кратко - ТК РФ) не определены "отгулы". Если Вы работали по приказу работодателя в выходные или праздничные дни, то в приказе должны быть дни отдыха с указанием даты.

Если Вы без уважительной причины не вышли на работу, то конечно работодатель Вас может привлечь к дисциплинарной ответственности за прогул на основании статей 192, 193 ТК РФ, в т.ч. уволить на основании подп. А) пункта 6 части статьи 81 ТК РФ за прогул или прогулы.

Статья 81. Расторжение трудового договора по инициативе работодателя

Трудовой договор может быть расторгнут работодателем в случаях:

6) однократного грубого нарушения работником трудовых обязанностей:

а) прогула, то есть отсутствия на рабочем месте без уважительных причин в течение всего рабочего дня (смены), независимо от его (ее) продолжительности, а также в случае отсутствия на рабочем месте без уважительных причин более четырех часов подряд в течение рабочего дня (смены);

В-третьих, если вопрос будет стоять об увольнении за прогул, то Вы сможете с учетом статей 80, 81, 84.1 ТК РФ избежать увольнения за прогул и уволиться по собственному желанию. Подробно об этом смотрите на моей странице в разделе "Мои Публикации" статью "Как гарантировано избежать увольнения за прогул".

Удачи Вам.