Можно ли установить двигатель от битой машины после приобретения авто по договору и без регистрации?

Нет, главное чтобы у Вас был на руках договор купли-продажи.

Вы все делаете неправильно. Старый хозяин должен был разобрать автомобиль, сдать в утилизацию кузов, и отдельно продать Вам номерной агрегат: двигатель. Договор купли-продажи продажи должен быть только на двигатель. Притом другой двигатель на кузов Вашего автомобиля Вы сами устанавливать не имеете права, только в сертифицированном автосервисе, в котором Вам дадут соответствующие документы для ГАИ, чтобы внести изменения в регистрационные данные о новом двигателе в ПТС и свидетельство о регистрации. Иначе ГАИ признает Ваш автомобиль КОНСТРУКТОРОМ, и принудительно снимет его с регистрационного учёта (отберёт номера). Пользоваться автомобилем Вы не сможете. Притом проверка ГАИ соответствия номеров двигателя с теми, что указаны в свидетельстве о регистрации транспортного средства может пройти, например, когда Вы поедете отдыхать в Сочи, там у Вас снимут номера, и машину Вы сможете домой привезти только на эвакуаторе. Теперь Вам ОДНОЗНАЧНО придется ставить машину на учет на себя, затем в ГАИ делать два ПТС: на кузов, и на двигатель, заниматься утилизацией кузова, обращаться в специализированный техцентр за справкой о том, что они установили на Ваш автомобиль двигатель, чтобы зарегистрировать изменения в ГАИ. Новый двигатель должен быть такой же мощности, как и старый, иначе ГАИ не даст разрешение на эксплуатацию.