Отсутствие председателя и совета дома - мешает ли это управляющей компании проводить текущий ремонт подъезда?

Здравствуйте. Нет, не вправе они так делать, отсутствие председателя и Совета дома, не влияет на управление домом.

На основании п. 5 ч. 5 ст.161.1 ЖК РФ Совет многоквартирного дома - осуществляет контроль за оказанием услуг и (или) выполнением работ по управлению многоквартирным домом, содержанию и ремонту общего имущества в многоквартирном доме и за качеством предоставляемых коммунальных услуг собственникам жилых и нежилых помещений в многоквартирном доме и пользователям таких помещений, в том числе помещений, входящих в состав общего имущества в данном доме.

Ни какого отношения к выполнению работ УК.

Согласно ч. 2 ст. 161.1 ЖК РФ в случаях, указанных в части 1 настоящей статьи, при условии, если в течение календарного года решение об избрании совета многоквартирного дома собственниками помещений в нем не принято или соответствующее решение не реализовано, орган местного самоуправления в трехмесячный срок созывает общее собрание собственников помещений в многоквартирном доме, в повестку дня которого включаются вопросы об избрании в данном доме совета многоквартирного дома, в том числе председателя совета данного дома, или о создании в данном доме товарищества собственников жилья.

Обратитесь в прокуратуру и администрацию района.