Можно ли ввести мужа в свидетельство о рождении, если он не является биологическим отцом и сам предложил установление отцовства, и как это сделать - через суд или ЗАГС?

Можно через ЗАГС по совместному заявлению.

Если ребёнок родился в браке или спустя 300 дней после расторжения брака, ребёнка записывают на супруга. Если вы родили давно, а супруг появился недавно и хочет усыновить/удочерить вашего ребёнка, то это можно произвести через процедуру установление отцовства в органах ЗАГС, он и вы вместе идёте и получаете свидетельство об установлении отцовства (если имеется прочерк в свидетельстве о рождении в графе «отец»). Для этого ваше совместное присутствие обязательно.

Добрый день. Установление отцовства может быть произведено органом ЗАГС по месту жительства родителей или месту государственной регистрации рождения ребёнка на основании совместного заявления родителей, не состоявших в браке на момент рождения. Для подачи заявления обращаетесь вдвоём со своими паспортами, свидетельством о рождении ребёнка, оплачиваете гос. пошлину в размере 200 рублей. Если запись акта о рождении храниться в органе ЗАГС, куда вы обратились с данным заявлением, то свидетельство об установлении отцовства и свидетельство о рождении вы получаете в день обращения. В заявлении вы будете указывать фамилию, имя, отчество, которые по обоюдному согласию просите присвоить ребёнку после установления отцовства (возможно изменить фамилию, и имя, и отчество).