Что делать, если судебные приставы требуют задолженность по фонду капитального ремонта без подписанного договора?

Вам нужно обжаловать судебный акт. Пристав его только исполняет.

Вероятнее всего был вынесен судебный приказ, дело о выдаче судебного приказа рассматривается без вызова сторон (хотя суд и должен бы направить его копию должнику). Судебный приказ может быть отменен, если на него поступят возражения (ст. 129 ГПК РФ), суд разъяснит взыскателю право обратиться в суд по общим правилам искового производства, где можно будет представить свои доводы, в т.ч., возможно, и о пропуске срока давности. Однако, следует иметь в виду, что вместе с возражениями на судебный приказ необходимо будет заявить ходатайство о восстановлении срока на подачу возражений (10 дней с момента получения приказа). Мотивировать данное ходатайство можно несвоевременным уведомлением о вынесении приказа (получая в суде копию приказа, в отметке о получении проставляете реальную дату и от нее начнется исчисление 10-дневного срока на подачу возражений). Поэтому, обращайтесь в суд, получайте копию приказа и подавайте на него возражения. Судебный Акт об отмене судебного приказа - направляйте самостоятельно в соответствующий отдел ФССП. Отзывы на ответы юриста - приветствуются. При отсутствии таковых, маловероятно, что Вам кто-либо будет отвечать на дополнительные вопросы.

А договора и не нужно, т.к. по ЖК РФ вы обязаны оплачивать взносы на капремонт. Либо оплачивайте, либо отменяйте судебный акт или подавайте апелляционную жалобу. Всё зависит от того какой судебный акт был вынесен.