Суд мед экспертиза и освидетельствование, это разные вещи? И какое направление дают с полиции на освидетельствование при побоях?

Это "разные вещи". Согласно Закона от 21.11.2011 N 323-ФЗ (ред. от 27.12.2019, с изм. от 13.01.2020) "Об основах охраны здоровья граждан в Российской Федерации", видами медицинского освидетельствования являются:

1) освидетельствование на состояние опьянения (алкогольного, наркотического или иного токсического);

2) психиатрическое освидетельствование;

3) освидетельствование на наличие медицинских противопоказаний к управлению транспортным средством;

4) освидетельствование на наличие медицинских противопоказаний к владению оружием;

5) иные виды медицинского освидетельствования, установленные законодательством Российской Федерации.

А Судебно-медицинская экспертиза проводится в целях установления обстоятельств, подлежащих доказыванию по конкретному делу, в медицинских организациях экспертами в соответствии с законодательством Российской Федерации о государственной судебно-экспертной деятельности.

О назначении судебно-медицинской экспертизы выносится постановление в соответствии со ст. 195 УПК РФ. С этим постановлением направляетесь в бюро СМЭ, где будет установлена степень тяжести причиненных Вам повреждений, их локализация, механизм образования, давность.

P.S. Не путайте и имейте в виду, что СМЭ - судебно-медицинская экспертиза, а МСЭ - медико-социальная экспертиза. МСЭ устанавливают, например, инвалидность и никакого, абсолютно, отношения к установлению степени тяжести повреждений не имеют! Проводятся разными организациями!