Можем ли мы получить улучшение жилищных условий в квартире, где мы проживали с родной сестрой?

Да, у вас же нет своего жилья, вы проживаете в чужом. Данный факт является одним из оснований постановки на учёт как нуждающиея.

Член семьи собственника - лицо, вселённое собственником в качестве члена своей семьи. Поэтому, на мой взгляд, переезд сестры не меняет ваш статус члена семьи собственника, если вы в таком качестве были изначально вселены в её квартиру.

Постановление Пленума Верховного Суда РФ от 02.07.2009 N 14 "О некоторых вопросах, возникших в судебной практике при применении Жилищного кодекса Российской Федерации"

11. Вопрос о признании лица членом семьи собственника жилого помещения судам следует разрешать с учетом положений части 1 статьи 31 ЖК РФ, исходя из следующего:

б) членами семьи собственника жилого помещения могут быть признаны другие родственники независимо от степени родства (например, бабушки, дедушки, братья, сестры, дяди, тети, племянники, племянницы и другие) и нетрудоспособные иждивенцы как самого собственника, так и членов его семьи, а в исключительных случаях иные граждане (например, лицо, проживающее совместно с собственником без регистрации брака), если они вселены собственником жилого помещения в качестве членов своей семьи. Для признания перечисленных лиц членами семьи собственника жилого помещения требуется не только установление юридического факта вселения их собственником в жилое помещение, но и выяснение содержания волеизъявления собственника на их вселение, а именно: вселялось ли им лицо для проживания в жилом помещении как член его семьи или жилое помещение предоставлялось для проживания по иным основаниям (например, в безвозмездное пользование, по договору найма). Содержание волеизъявления собственника в случае спора определяется судом на основании объяснений сторон, третьих лиц, показаний свидетелей, письменных документов (например, договора о вселении в жилое помещение) и других доказательств (статья 55 ГПК РФ).

При этом необходимо иметь в виду, что семейные отношения характеризуются, в частности, взаимным уважением и взаимной заботой членов семьи, их личными неимущественными и имущественными правами и обязанностями, общими интересами, ответственностью друг перед другом, ведением общего хозяйства.