Можно ли закрыть больничный лист и открыть больничный в один и тот же день, но в разных больницах.

Можно.

Относительно оплаты больничных:

Как выплачивать пособие, если за один период нетрудоспособности работник принес два больничных листа

Если период нетрудоспособности по одному больничному листу частично совпадает с периодом нетрудоспособности по другому больничному листу, пособие надо платить за календарные дни, приходящиеся на общий период нетрудоспособности. Оплачивать пересекающиеся периоды по каждому больничному нельзя. Ведь пособие выплачивается за дни нетрудоспособности независимо от количества больничных листов.

Сначала оплатите все календарные дни по первому больничному листу. Календарные дни по второму больничному листу оплачивайте со дня, следующего за днем закрытия первого больничного.

Если один или оба больничных листа выданы в связи с заболеванием или травмой (разными заболеваниями или заболеванием и травмой) работника, то за счет работодателя оплатите три дня нетрудоспособности по каждому такому случаю, а остальные дни оплачивайте за счет средств ФСС РФ (п. 1 ч. 2 ст. 3 Закона N 255-ФЗ). По второму больничному, выданному в связи с болезнью (травмой) работника, за счет работодателя оплачивайте три дня, следующие за днем закрытия первого больничного. Ведь часть периода нетрудоспособности по второму больничному листу уже оплачена по первому больничному.