Можно ли перевестись в другой вуз на первый курс без прохождения армейской службы?

Зависеть будет от военкомата. Право на отсрочку - сохраняется лишь при переводе.

Федеральный закон от 28.03.1998 N 53-ФЗ (ред. от 01.04.2020) "О воинской обязанности и военной службе" (с изм. и доп., вступ. В силу с 12.04.2020)

Статья 24. Отсрочка от призыва граждан на военную службу

2. Право на отсрочку от призыва на военную службу имеют граждане:

а) обучающиеся по очной форме обучения в:

Предусмотренная настоящим подпунктом отсрочка от призыва на военную службу предоставляется гражданину только один раз, за исключением одного из случаев, если:

первая отсрочка от призыва на военную службу была предоставлена гражданину в соответствии с абзацем седьмым настоящего подпункта, гражданин повторно может воспользоваться правом на отсрочку от призыва на военную службу в соответствии с абзацем девятым настоящего подпункта.

Право на предусмотренную настоящим подпунктом отсрочку от призыва на военную службу сохраняется за гражданином:

получившим во время освоения образовательной программы академический отпуск или перешедшим в той же образовательной организации с одной образовательной программы на другую имеющую государственную аккредитацию образовательную программу того же уровня образования либо переведенным в другую образовательную организацию для освоения имеющей государственную аккредитацию образовательной программы того же уровня образования. Право на отсрочку от призыва на военную службу сохраняется за гражданином по основаниям, предусмотренным настоящим абзацем, только при условии, если общий срок, на который гражданину была предоставлена отсрочка от призыва на военную службу для обучения в данной образовательной организации или в образовательной организации, из которой осуществлен перевод, не увеличивается или увеличивается не более чем на один год;

Здравствуйте, Артём!

Это зависит от того, предоставлялась ли вам отсрочка по обучению на первом курсе.

Для предоставления отсрочки по достижению 18-ти лет, во время призыва (с 1 окт по 31 дек. или с 1 апр. по 15 июл) пройти медицинское освидетельствование и призывную комиссию, которая обязана объявить вам свое решение о предоставлении отсрочки.

Если эта процедура соблюдена была, то право на вторую отсрочку вы не имеете, но можно сохранить первую, если вы оформите перевод. При этом срок отсрочки не должен увеличиваться более, чем на год. См. пп "а", п.2, ст.24 ФЗ "О воинской обязанности и военной службе"