Нужен ли перерасчет Путинских выплат за предыдущие месяцы, если документы поданы с задержкой?

Формально - нет, на момент автоматического продления - у Вас уже истек срок подачи документов на продление.

Федеральный закон от 01.04.2020 N 104-ФЗ "Об особенностях исчисления пособий по временной нетрудоспособности и осуществления ежемесячных выплат в связи с рождением (усыновлением) первого или второго ребенка"

Статья 2

1. Приостановить с 1 апреля по 1 октября 2020 года включительно действие второго предложения части 3 статьи 2 и статьи 5 Федерального закона от 28 декабря 2017 года N 418-ФЗ "О ежемесячных выплатах семьям, имеющим детей" (Собрание законодательства Российской Федерации, 2018, N 1, ст. 2; 2019, N 18, ст. 2216; N 31, ст. 4464).

2. Установить, что в период с 1 апреля по 1 октября 2020 года включительно ежемесячная выплата в связи с рождением (усыновлением) первого или второго ребенка гражданам с детьми, достигшими в указанный период возраста одного года или двух лет, имеющим право на указанную выплату в соответствии с Федеральным законом от 28 декабря 2017 года N 418-ФЗ "О ежемесячных выплатах семьям, имеющим детей", назначается без подачи такими гражданами заявлений, предусмотренных частью 3 статьи 2 указанного Федерального закона.

3. Органы исполнительной власти субъектов Российской Федерации, осуществляющие полномочия в сфере социальной защиты населения, и территориальные органы Пенсионного фонда Российской Федерации информируют граждан о назначении в соответствии с частью 2 настоящей статьи ежемесячной выплаты в связи с рождением (усыновлением) первого или второго ребенка.