Можно ли проживать в квартире до вступления в права наследства.

Только в том случае если наследник там зарегистрирован. А всем остальным,-НЕЛЬЗЯ.

Можно. Наследство принадлежит наследнику с момента открытия этого наследства. Вне зависимости от оформления прав.

"Гражданский кодекс Российской Федерации (часть третья)" от 26.11.2001 N 146-ФЗ (ред. от 18.03.2019)

""ГК РФ Статья 1152. Принятие наследства

...

""4. Принятое наследство признается принадлежащим наследнику со дня открытия наследства независимо от времени его фактического принятия, а также независимо от момента государственной регистрации права наследника на наследственное имущество, когда такое право подлежит государственной регистрации.

Ольша, вполне можете, так как наследство можно принять в том числе и путем вселения согласно ч. 2 ст. 1153 ГК РФ.

ГК РФ Статья 1153. Способы принятия наследства

Признается, пока не доказано иное, что наследник принял наследство, если он совершил действия, свидетельствующие о фактическом принятии наследства, в частности если наследник:

вступил во владение или в управление наследственным имуществом;

принял меры по сохранению наследственного имущества, защите его от посягательств или притязаний третьих лиц;

произвел за свой счет расходы на содержание наследственного имущества;

оплатил за свой счет долги наследодателя или получил от третьих лиц причитавшиеся наследодателю денежные средства.