Нужно ли отправлять копию жалобы прокурору и больнице при обращении в Мосгорсуд?

Да, нужно высылать копии прокурору и больнице.

Согласно ст.333 ГПК РФ суд первой инстанции после получения частной жалобы, представления прокурора, поданных в установленный статьей 332 настоящего Кодекса срок и соответствующих требованиям статьи 322 настоящего Кодекса, обязан направить лицам, участвующим в деле, копии частной жалобы, представления прокурора и приложенных к ним документов и назначить разумный срок, в течение которого указанные лица вправе представить в суд первой инстанции возражения в письменной форме относительно частной жалобы, представления прокурора с приложением документов, подтверждающих эти возражения, и их копий, количество которых соответствует количеству лиц, участвующих в деле.

По смыслу ст.322 ГПК РФ к жалобе также прилагается документ, подтверждающий направление или вручение другим лицам, участвующим в деле, копий жалобы, представления и приложенных к ним документов, которые у других лиц, участвующих в деле, отсутствуют, в том числе в случае подачи в суд жалобы, представления и приложенных к ним документов посредством заполнения формы, размещенной на официальном сайте соответствующего суда в информационно-телекоммуникационной сети "Интернет".

Следовательно, лучше направить жалобу в том числе и лицам, участвующим в деле.