Как решить проблему работы при инвалидности 1 группы у родителя и возможны ли отпуска по уходу за ним?

Для начала почитайте колдоговор Вашей организации.

Федеральных норм, устанавливающих подобные отпуска, нет.

Возможен только листок нетрудоспособности. Но!

Федеральный закон "Об обязательном социальном страховании на случай временной нетрудоспособности и в связи с материнством" от 29.12.2006 N 255-ФЗ

Статья 6. Условия и продолжительность выплаты пособия по временной нетрудоспособности

5. Пособие по временной нетрудоспособности при необходимости осуществления ухода за больным членом семьи выплачивается застрахованному лицу:

6) в остальных случаях ухода за больным членом семьи при лечении в амбулаторных условиях - не более чем за 7 календарных дней по каждому случаю заболевания, но не более чем за 30 календарных дней в календарном году по всем случаям ухода за этим членом семьи.

Так же:

ТК РФ Статья 128. Отпуск без сохранения заработной платы

По семейным обстоятельствам и другим уважительным причинам работнику по его письменному заявлению может быть предоставлен отпуск без сохранения заработной платы, продолжительность которого определяется по соглашению между работником и работодателем.

В бирже смысла не вижу. Пара предложений работы, Ваш отказ - и последует снятие с биржи.

Госорганизация - не коммерческая шарага. Попробуйте договориться с руководством.