Как поступить, если арендодатель не разрешает отнести договор на квартиру на работу из-за нарушения закона о персональных данных?

Формально он прав, к сожалению.

Евгения, без письменного согласия Арендодателя Вы не имеете право этого делать, к сожалению.

Все, что можно - в судебном порядке требовать от него предоставления таких данных третьим лицам. Но сами понимаете - это процесс не быстрый.

Либо договариваться лично о предоставлении такого согласия

Основание закона:

Федеральный закон от 27.07.2006 N 152-ФЗ (ред. от 30.12.2020) "О персональных данных" (с изм. и доп., вступ. В силу с 01.03.2021)

Статья 9. Согласие субъекта персональных данных на обработку его персональных данных

(в ред. Федерального закона от 25.07.2011 N 261-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

1. Субъект персональных данных принимает решение о предоставлении его персональных данных и дает согласие на их обработку свободно, своей волей и в своем интересе. Согласие на обработку персональных данных должно быть конкретным, информированным и сознательным. Согласие на обработку персональных данных может быть дано субъектом персональных данных или его представителем в любой позволяющей подтвердить факт его получения форме, если иное не установлено федеральным законом. В случае получения согласия на обработку персональных данных от представителя субъекта персональных данных полномочия данного представителя на дачу согласия от имени субъекта персональных данных проверяются оператором.

Нет, не так, согласия арендоталя не нужно, закон здесь не нарушается, скорее всего собственник не платит налоги, отсюда и боится штрафа.