Как оставить сына служить в регионе, если вы мать-одиночка с инвалидностью и многодетной семьей?

Нет, не может, для этого оснований нет.

Ростислав, может, для чего обращайтесь с заявлением в военкомат с приложением документов, подтверждающих обстоятельства, изложенные в вопросе. Приказ Министра обороны РФ от 02.10.2007 N 400 (ред. от 29.06.2012) "О мерах по реализации Постановления Правительства Российской Федерации от 11 ноября 2006 г. N 663" (вместе с "Инструкцией по подготовке и проведению мероприятий, связанных с призывом на военную службу граждан Российской Федерации, не пребывающих в запасе")

Этот вопрос решаем на уровне матери и начальника военкомата, который призвал сына. И здесь не имеет значение ничего абсолютно, касающееся социального положения призывника или матери. Место службы призывника распределяет военкомат на основании заявок и здоровья призывника.

Призыву на военную службу подлежат граждане мужского пола в возрасте от 18 до 27 лет, состоящие на воинском учете, не находящиеся в запасе.

Отсрочка от призыва на военную службу предоставляется по состоянию здоровья, семейному положению, по учебе и т.д.

Отсрочка по семейному положению предоставляется, если гражданин (пп. «б»-«д», «и» п. 1 ст. 24 Федерального закона от 28.03.1998 № 53-ФЗ «О воинской обязанности и военной службе»):

1) занят постоянным уходом за членом семьи, нуждающимся в таком уходе и не находящимся на полном государственном обеспечении, если отсутствуют другие лица, обязанные их содержать;

2) является опекуном или попечителем несовершеннолетнего родного брата или сестры при отсутствии других лиц, обязанных их содержать;

3) имеет ребенка и воспитывает его без матери;

4) имеет двух и более детей;

5) имеет ребенка-инвалида в возрасте до трех лет;

6) имеет ребенка и жену, срок беременности которой составляет не менее 26 недель.

В вашем случае оснований отсрочки от призыва на военную службу не вижу.

Вы вообще мать или отец одиночка, если мать, то почему тогда обращаетесь от мужского имени?

Призывники, имеющие детей, а также больных и пожилого возраста родителей (женщины - старше 55 лет, мужчины - старше 60 лет), но не попадающие под требования подпункта "б" пункта 1 статьи 24 Федерального закона от 28 марта 1998 г. N 53-ФЗ "О воинской обязанности и военной службе", по возможности направляются для прохождения военной службы в воинские части Вооруженных Сил, других войск, воинских формирований и органов, дислоцированные вблизи места их проживания, в пределах установленных норм призыва граждан на военную службу для соответствующих муниципальных образований. При этом гражданин обязан документально подтвердить наличие у него указанных родственников.