Центр занятости переплатил мне 5000 рублей - правильно ли требуют их вернуть?

При обращении в ЦЗН для получения пособия по безработице сотрудник ЦЗН озвучил, что при последующем трудоустройстве ничего сообщать не нужно для отмены пособия, якобы налоговая сама передаст данные о трудоустройстве и пособие отменят.

Отработал 1 месяц после трудоустройства, ничего не сообщал в ЦЗН (ссылаясь на информацию сотрудника), но на карту пришли деньги 50% от размера пособия. Ничего не уточнял, не звонил. Сейчас звонят сотрудники ЦЗН и просят вернуть эти деньги. Должен ли я что-то возвращать, если руководствовался информацией, полученной от сотрудника, не сообщал о трудоустройстве. Информация о выходе на работу пришла из налоговой в ЦЗН только спустя месяц!

Мне биржа труда переплатили 800 рублей, и просят вернуть деньги. Я устроилась на работу и в тот же день принесла им приказ, чтобы с бирже сняли,... Скажите есть тут моя вина.

Позвонили с центра занятости и сказали, вернуть им пособие, сказали, что они переплатили, прошла неделя, это законно, а если я, не вернулся, что будет?

Летом 2020 года в июне, я встала на учет в ЦЗН по безработице через сайт Работа в России, через 10 дней меня признали безработной и назначили денежное пособие, с момента признания меня безработной специалисты ЦЗН мне не звонили, я не ездила для отметок так же в ЦЗН, что меня очень удивило. Через 21-23 дня приблизительно мне предложили работу знакомые, я удалилась с сайта, после чего мне так же никто не позвонил! Какое было назначено пособие я не знаю, так как на карту приходят алименты, детские пособия и прочие начисления, не слежу за этим. Спустя 6 месяце мне звонит специалист с Центра занятости населения и просит вернуть деньги 4300 рублей, объясняя это тем, что мне перевели сумму с учетом детского пособия 7400 руб (приблизительно пишу, точную сумму до копеек не помню) , что эту сумму мне выплатили за месяц, а я не имела права удаляться с учета ранее! Я ответила что не знала этого, так как на сайте нет такой информации, меня не предупреждали, мне не звонили с цента занятости и ни о чем не предупреждали. Да, отвечает специалист, вам не звонили, но вы должны были сами позвонить через месяц и отчитаться за месяц! Зачем отчитываться если ч не простояла месяц на учете, да и не знала я о том что нужно звонить в ЦЗН! Одним словом я не понимаю что происходит! Сумму которая мне была переведена я пока не могу посмотреть, нужно идти в Сбербанк, специалист сказала, что подождет неделю или две, пока я дойду до сбербанка и проверю были ли зачисления 5 августа 2020 года на мой р/с. На мой вопрос, что я нарушила, специалист ничего не смогла ответить...

Подскажите пожалуйста, правомерны ли действия ЦЗ? Обязана ли я возвращать средства, которые (были) под вопросом получены якобы мной летом? Что мне нужно делать? Спасибо!

Центр занятости просит вернуть деньги.