Как перевестись на службу в другую часть при окончании контракта?

Подайте рапорт по команде, приложите отношение, командир его рассмотрит, возможность перевода зависит от усмотения командира.

Если вы ранее не подавали рапорт о заключении нового контракта, то вас уволят.

Полагаю, что кадровики могут пойти по пути вашего увольнения. Подайте рапорт с приложением отношения для рассмотрения

Федеральный закон от 28.03.1998 N 53-ФЗ (ред. от 30.12.2021) "О воинской обязанности и военной службе"

Статья 34. Заключение контракта о прохождении военной службы

6. Командир (начальник) воинской части принимает решение о заключении нового контракта о прохождении военной службы или об отказе в его заключении с военнослужащим, проходящим военную службу по контракту, не позднее чем за три месяца до истечения срока действующего контракта.

Указ Президента РФ от 16 сентября 1999 г. N 1237 "Вопросы прохождения военной службы

Статья 9. Порядок заключения нового контракта

9. Для заключения нового контракта военнослужащий, у которого заканчивается срок действующего контракта, не менее чем за четыре месяца до истечения его срока подает по команде рапорт должностному лицу, которое вправе заключать с ним новый контракт.

Рапорт военнослужащего регистрируется в установленном порядке. Контроль за своевременной подачей рапортов осуществляет соответствующий кадровый орган или орган комплектования воинской части.