Может ли администрация техникума законно забирать классное руководство без причины? Возможно ли обратиться в трудовую инспекцию?

Это вполне законно, поскольку классное руководство (за жалкие копейки) - это доп. обязнность, которая распределяется по усмотрению администрации и не является условием трудового договора, который вы заключали с техникумом.

Классное руководство (кураторство) является для педагогических работников видом дополнительной работы, которая может выполняться ими только с их письменного согласия и за дополнительную оплату, что предусматривается в трудовом договоре (дополнительном соглашении к трудовому договору), в котором указывается ее содержание, срок выполнения и размер оплаты.

Применительно к порядку, установленному при распределении учебной нагрузки на новый учебный год, в коллективном договоре могут быть предусмотрены следующие положения, связанные с осуществлением педагогическими работниками классного руководства (кураторства) в группах:

а) недопущение в течение учебного года и в каникулярный период отмены классного руководства (кураторства) в конкретной группе по инициативе работодателя при надлежащем осуществлении классного руководства, за исключением случаев сокращения количества групп с соблюдением законодательства о труде. Вам нужно изучить договора. Удачи.

Смотря на каких основаниях Вам оформлено классное руководство. Вы пописывали какие-то доп соглашения к трудовому договору? Юристу нужно видеть условия данного соглашения.

В трудовую инспекцию обращаться никому не запрещено.

Обращайтесь в ГИТ Роструда, у Вас грубое нарушение закона, изменение условий труда.

- см. ст. 72, 74 ТК РФ.