Может ли работодатель уволить многодетную мать с 3 мя несовершеннолетними детьми, без уважительной причины.

Уволить могут только по основаниям, предусмотренным ТК РФ. Многодетные родители имеют право преимущественного оставления на работе при процедуре сокращения.

Защищена законом - ТК РФ.Исполняя добросовестно свои обязанности в соответствие с трудовым договором и должностной инструкцией, ее ничего не грозит, а прокуратура, трудовая инспекция и суд всегда встанут на сторону работника, тем более с детьми.

Никак она не защищена, если речь идёт о работе и о сокращении должности, то к матери это не имеет отношения, только к сокращаемой должности! Это нужно знать и понимать. Вам обязаны предложить другую должность, но только в соответствии с вашей квалификацией или образованием, если её нет, а есть должность допустим с высшим образованием, то вам её и не имеют права предлагать. Официально увольнение по сокращению называется «прекращение трудового договора в связи с сокращением численности или штата работников» (п. 2 ч. 1 ст. 81 ТК РФ). Сокращать сотрудников могут не только компании, но и предприниматели-работодатели. При сокращении штата полностью ликвидируют одну или несколько должностей, исключая их из штатного расписания.

Это уже ваше желание - подавать заявление добровольно или нет. Вы можете этого не делать. Вам же предложили уволиться ДОБРОВОЛЬНО.

Это ваши проблемы. Не хотите, не подавайте заявление, или наоборот.